有一些数据，想“看看”它长什么样，我们一般会画直方图（Histogram）。现在你也可以用核密度估计。
什么是“核”
如果不了解背景，看到“核密度估计”这个概念基本上就是一脸懵逼。我们先说说这个核 (kernel) 是什么。
首先，“核”在不同的语境下的含义是不同的，例如在模式识别里，它的含义就和这里不同。在“非参数估计”的语境下，“核”是一个函数，用来提供权重。例如高斯函数 (Gaussian) 就是一个常用的核函数。
让我们举个例子，假设我们现在想买房，钱不够要找亲戚朋友借，我们用一个数组来表示
5 个亲戚的财产状况： [8, 2, 5, 6, 4]。我们是中间这个数 5。“核”可以类比 成朋友圈，但不同的亲戚朋友亲疏有别，在借钱的时候，关系好的朋友出力多，关系不好的朋友出力少，于是我们可以用权重来表示。总共能借到的钱是： 8*0.1 + 2*0.4 + 5 + 6*0.3 + 4*0.2 = 9.2。
那么“核”的作用就是用来决定权重，例如高斯函数（即正态分布）：
如果还套用上面的例子的话，可以认为在 3 代血亲之外的亲戚就基本不会借钱给你了。
最后呢，一般要求核函数有下面两个性质：
- 归一化：$\int_{- \infty}^{+ \infty}{K(u) du} = 1$
- 对称性：对所有 $u$ 要求 $K(-u) = K(u)$
最后的最后： 一些常用的核
核密度估计
理解了“核”，核密度估计就容易理解了。
如果我们画直方图，其实目的是画出“概率密度函数”，而直方图本质上是认为频率等于概率。但这种假设不是必然的。核密度函数就是一种“平滑(smooth)”的手段。相当于是“我说我很牛逼你可能不信，但你可以听听我的朋友们是怎么评价我的，加权平均下就能更好地了解我了”。于是乎：
设 $(x_1, x_2, …, x_n)$ 是独立同分布的 n 个样本点，它的概率密度函数是 $f$，于是我们的估计：
$$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{K_h(x - x_i)} = \frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}{K(\frac{x-x_i}{h})}$$
上面式子中 h 是人为指定的，代表“朋友圈”的大小，正式的叫法是“带宽”(bandwidth)
。而 $x-x_i$ 就是自己与朋友的亲疏程度，当然最后要正归化到 [-1, 1] 之间。下图是直方图和核密度估计的一个对比：
选择合适的带宽
选择不同的带宽，核密度估计的结果也大不相同，因此人们研究了一些算法来选择带宽。这方面对理解 KDE 本身没有什么太重要的意义，并且常见的算法在 scipy 里也已经都实现了，这里就不细说了，有兴趣的看看 wiki 吧。